Шляпа имеет 13 углов – и решает головоломку

Тот, кто не любит регулярно повторять узоры при укладке плитки, должен поблагодарить команду профессиональных математиков и математиков-любителей за новый вариант. 

Люди из Великобритании, Канады и США нашли форму плитки, с помощью которой можно выложить бесконечную площадь без зазоров и регулярного повторения основного узора. Эксперты называют это апериодической укладкой. Плитка имеет 13 углов и, если проявить немного воображения, напоминает шляпу.

В основе поиска такой формы лежит чисто математический вопрос, загадка, если хотите. Он не имеет никакого реального отношения к практике. «Апериодическая укладка имеет мало применений», – так выразился математик Дирк Фреттлох, изучающий эту тему в Билефельдском университете. 

Семейство апериодических плиточных узоров

Все это восходит к Роджеру Пенроузу и Роберту Амманну, которые около 50 лет назад представили семейство апериодических плиточных узоров, включая «паркет Пенроуза». Однако в каждом случае сочетались разные формы плитки, например, два ромба с разными внутренними углами. Вопрос заключался в том, возможна ли такая паркетность только с одной формой плитки. Такая форма называется «Эйнштейн» («апериодическая монотилия»).

Все предыдущие решения не были полностью удовлетворительными, пояснил Фреттлох. Иногда она переходила в трехмерное пространство, иногда плитки перекрывались в некоторых точках, иногда искусственно создавались дополнительные ограничения или правила. 

Однако даже «шляпная» плитка Дэвида Смита, Джозефа Самуэля Майерса, Крейга С. Каплана и Хаима Гудмана-Стросса не является бесспорной среди экспертов. Это связано с тем, что ее можно использовать для апериодической укладки паркета без зазоров только в том случае, если поверхность зеркально отражена в нескольких местах. Ученые называют свое открытие «эйнштейновским». Критики, однако, жалуются, что плитка не покрывает поверхность без зазоров только при вращении исходной формы. 

Основная критика Фреттлоха заключается в том, что один из двух вариантов – исходная форма или отражение – всегда должен быть в большинстве. Поэтому все поверхности, покрытые паркетом, можно разделить на две группы: в одной больше оригинальных плиток, в другой – больше зеркальных. При идеальном решении не было бы никакой разницы, тогда все мыслимые случаи были бы однородными.

«Приходится присматриваться»

Более того, Смит и Ко не представили никакого действительно глубокого или интересного математического доказательства своего решения, продолжает Фреттлох. «Даже неспециалист, не обладающий математическими знаниями, может прийти к этому решению с большим трудом». По словам математика, истинное искусство его дисциплины не проявляется таким образом. Тем не менее, он уступает исследователям: «На данный момент это лучший пример, который у нас есть».

Парадоксально, но при ближайшем рассмотрении нерегулярность не всегда заметна. «Чтобы увидеть совпадение, нужно присмотреться», – говорит Тим Роэ, профессор психологии восприятия в Университете Эрлангена-Нюрнберга. По его словам, тот факт, что форма плитки в представлениях всегда в основном одинакова, способствует созданию впечатления, что все выглядит очень регулярно.

Это связано с тем, что человеческий мозг всегда пытается распознать структуры – даже там, где их нет. В качестве примера Роэ привел тот факт, что человек иногда думает, что может распознать животных в облаках или лица в ломтиках хлеба. «Мозг не работает как фотоаппарат, – объяснил он. Он получает более или менее «шумные сигналы» и пытается составить из них модель. 

Перцептивная система развивается после рождения, поэтому сначала происходит распознавание паттернов. Например, в окружающей среде больше вертикальных и горизонтальных линий, поэтому люди обычно лучше распознают их, чем косые.